Suku Banyak

Pengertian

Merupakan suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Dinyatakan sebagai berikut:

anxn + an-1xn + an-2xn-2 + ….+a2x2 +a1x + ao

Dengan syarat:

n merupakan bilangan cacah
an ≠ 0
an, an-1, .., a2,a1, ao­ merupakan bilangan real yang disebut koefisien suku banyak

xn, xn-1, …., x2, x disebut variabel atau peubah.

NILAI SUKU BANYAK

Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Cara Substitusi

Jika suku banyak f(X) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika nilai x diganti k maka nilai suku banyak f(x) = ak3 + bk2 + ck + d

Contoh soal :
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan
f(x) = 2x3 + 4x2 – 18 untuk x = 3

Jawaban:
f(x) = 2x3 + 4x2 – 18
f(3) = 2.33 + 4. 32 – 18
f(3) = 2 . 27 + 4.9 – 18
f(3) = 54 + 36 – 18
f(3) = 72
Maka nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72

Cara Horner/bangun/skema/Sintetik

Jika akan menentukan nilai suku banyak f(x) = ax2 + bx + c untuk x = k dengan cara Horner maka dapat disajikan dengan bentuk skema berikut.

Contoh soal:
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini
f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 4 untuk x = 5

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186

Derajat Suku Banyak dan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suku banyak. Contoh ax3 + bx2 + cx + d memiliki derajat n = 3

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat satu maka akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n-1) dan sisa pembagian berbentuk konstanta.

Contoh soal:

Tentukan derajat dan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
2x3 + 4x2 – 18 dibagi x – 3

Cara Horner

Diperoleh 2x2 + 10x + 30 sebagai hasil bagi berderajat 2 dan 72 sebagai sisa pembagian.

Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau kuadrat

1. Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkan  sebagai hasil bagi dan  sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga f(x) = (ax + b) + 
   Contoh Soal:
   Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner
   f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3)
   Jawaban:
   
   Karena pembaginya
   2x + 3 = 
   Faktor pengalinya = 
   Hasil baginya = = x2 – x + 2
   Maka sisa pembagian = 4
2. Suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi
   (ax – p1)(x – p2) dapat ditulis f(x) = (ax2 + bx + c) . h2(x) + (ax – p1).h1(p2) + f
   di mana h2(x) merupakan hasil bagi dan (ax – p1) h1(p2) + f merupakan sisa pembagian.
   Contoh soal:
   Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika 2x3+ + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1)
   Jawab:
   (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x+1)(x-1)
   Cara Horner
   
   Jadi (2x + 1) merupakan hasil bagi dan 7x merupakan sisa pembagian

Bentuk Umum:

an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta
an, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
Teorema Sisa:
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Cara Pembagian Suku Banyak

Contoh:
F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1
1. Pembagian biasa

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

2. Cara Horner/Skema
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

• Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
• Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

dan seterusnya

Untuk soal di atas,
P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1: 2x + 1 = 0 → x = –½
P2: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

3. Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:

= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1   x = 2   x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
• Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
• Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
• Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
• Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
• Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa