Barisan dan Deret

  Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Kemudian aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika. Psstt, inget lho, ejaan yang benar itu ‘aritmetika’, bukan ‘aritmatika’.

Rumus Baris dan Deret Aritmetika

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:

 = suku ke-n

 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Rumus Beda atau Selisih

Keterangan:

b = beda atau selisih

 = suku ke-n
 = suku sebelum suku ke-n

Rumus Suku Tengah

atau

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:
 = suku tengah
 = suku terakhir
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku

Kalau jumlah atau banyak sukunya genap, gimana tuh? Itu berarti barisan aritmetika tersebut nggak ada suku tengahnya, Sob.

Rumus Sisipan

Nah, gimana jadinya kalau elo menyisipkan bilangan dengan jumlah k ke dalam barisan aritmetika yang udah ada? Pastinya hal tersebut akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika yang baru dan beberapa rumus di bawah ini juga ikut berubah, nih.

atau

Keterangan:

 = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru
n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama
k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama
 = beda atau selisih barisan aritmetika baru
b = beda atau selisih barisan aritmetika lama

Rumus-Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:
 = suku ke-n
 = suku ke-n
 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Biar elo semua makin pol ngerti, coba cermati beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari dan deret aritmetika di bawah ini, ya!

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = 
= 5-3
= 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:

= 3 + (30-1)2
= 3 + (29)2
= 3 + 58
= 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
1. a = 2
2. b = 
= 6-2
= 4
3.  = 74

Ditanyakan:

a). ?

b). t suku tengah?

Jawab:
a). ?

= 1/2(2+74)
= 1/2(76)
= 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

74 = 2 + (n-1)4
74 = 2 + 4n-4
74 = 4n – 2
74 +2 = 4n
76 = 4n
76/4 = n
19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)
t = 1/2(19 +1)
t = 1/2(20)
t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …
Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:
a = 20
b = 2
Ditanyakan: Sn?
Jawab:

 =  (20 + 20 + (12-1)2))
= 6 (40 + 24 – 2)
= 6 (62)
= 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

Nah Sobat Zenius, di atas adalah contoh soal barisan aritmatika SMA beserta pembahasan yang dapat elo pelajari.

Penerapan Barisan dan Deret Aritmetika dalam Kehidupan Sehari-hari

Tadi sudah gue kasih beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari.Mungkin banyak dari elo yang penasaran, sebenarnya gunanya barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari itu apaan, sih? Selain tempat parkir yang gue kasih di atas tadi, gue mau kasih contoh lainnya nih, di bawah.

 

Ilustrasi uang (Dok. Pixabay)

Nah, misal nih. Lo lagi rajin-rajinnya nabung di bank, di bulan pertama lo nabung sebanyak Rp200.000,00, terus di bulan ke-2 lo nabung sebanyak Rp210.000,00, dan seterusnya. Lo penasaran nih, ketika lo udah nabung selama 10 bulan, berapa banyak uang yang akan ada di tabungan lo? Ini bisa lo jawab pake rumus barisan dan deret aritmetika loh, Sob!

Caranya gini:

=  (200.000 + (12-1)10.000)
= 6 (200.000 + 120.000 – 10.000)
= 6 (310.000)
= 1.860.000

Jadi, jumlah tabungan lo setelah 1 tahun (12 bulan) itu udah mencapai Rp1.860.000,00