Logaritma

logaritma adalah invers atau kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Karena itu, sistem logaritma juga bisa digunakan untuk menentukan besar pangkat suatu bilangan pokok.

Sistem logaritma biasanya digunakan untuk menemukan pemangkatan yang rumit. Atau jika salah satu dari bilangan yang memiliki pangkat atau hasil pemangkatannya memiliki bentuk desimal. Sebagai contoh, kalau kamu ingin mencari tahu 5 pangkat berapa yang hasilnya 2.236. 

Dalam pemanfaatannya, sistem logaritma tidak terbatas pada bidang studi matematika saja. Kalau kamu ingin menjadi ahli fisika atau kimia, memahami logaritma adalah hal yang penting. Karena, kamu akan membutuhkan sistem ini saat menentukan orde reaksi dalam laju reaksi kimia, koefisien serap bunyi dalam ilmu akustik, dan masih banyak lagi.

Bentuk Umum Logaritma

Dalam matematika, logaritma memiliki bentuk atau rumus umum yang menjadi dasar semua rumus logaritma. Bentuk umum logaritma adalah sebagai berikut:

Jika ${�}^{�}=�$ , maka $�=�$

Dengan keterangan:

$�$ = bilangan pokok atau basis, dengan syarat a>0 dan a≠1 

$�$ = bilangan yang dicari nilai logaritmanya (numerus), dengan syarat x>0 

$�$ = besar pangkat atau nilai logaritma

Sifat Sifat Logaritma

Selain bentuk umum, logaritma juga memiliki beberapa sifat yang harus kamu pahami. Jadi, kalau kamu menemukan soal-soal dasar logaritma, kamu bisa mengerjakannya dengan lebih mudah. Setidaknya, ada 7 sifat logaritma yang harus kamu tahu, termasuk di dalamnya sifat perkalian logaritma. 

Tujuh sifat logaritma adalah sebagai berikut:

Meskipun logaritma memiliki banyak sifat, sebenarnya kamu tidak perlu menghafal semua sifatnya sekaligus. Cara terbaik untuk menghafal dan memahami sifat-sifat logaritma adalah dengan memperbanyak latihan soal. Sehingga, kamu akan bisa menghafal ketujuh sifat ini dengan sendirinya.

Persamaan Logaritma

persamaan logaritma adalah sebuah persamaan dalam bentuk logaritma yang memiliki variabel di bagian basis atau numerus atau keduanya.

Secara umum, bentuk persamaan logaritma adalah sama dengan bentuk umum logaritma. Yaitu $�=�$ . Namun bentuk logaritmanya bisa kamu temukan di kedua sisi. Kemudian, antara sisi kanan dan kiri dihubungkan oleh tanda sama dengan.

Sebagai contoh, salah satu bentuk soal logaritma adalah seperti ini: $(2�+9){=}^3\log (10�-16)$

Nah, kalau dijabarkan, ada 6 bentuk persamaan logaritma yang akan sering kamu temukan. Bentuk-bentuk persamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Sifat Pertama

${}^{�}����(�){=}^{�}����$ 

Dalam bentuk pertama ini, basis a nilainya sama. Dengan syarat a>0 dan a≠1 . Karena basis dari logaritma ini memiliki nilai yang sama, maka numerusnya juga akan sama. Sehingga, kamu bisa langsung menggunakan $�(�)=�$ .

2. Sifat Kedua

${}^{�}\log �(�){=}^{�}\log �(�)$

Sifat logaritma kedua ini hampir sama dengan yang pertama. Di mana basis a nilainya sama, a>0, dan a≠1 . Selain itu, $�(�)$ dan $�(�)>0$. Sehingga, cara untuk menyelesaikan soal yang memiliki sifat logaritma adalah dengan menggunakan $�(�)=�(�)$.

3. Sifat Ketiga

${}^{�}\log �(�){=}^{�}\log �(�)$

Selanjutnya, sifat ini dapat diselesaikan dengan cara fx=1. Dengan syarat, basis a, b, dan numerus f(x) harus lebih dari 0. Selain itu, a≠1, b≠1, dan ab.

4. Sifat Keempat

 ${}^{�(�)}\log �(�){=}^{�(�)}\log ℎ(�)$

Persamaan keempat ini mirip dengan sifat persamaan kedua. Hanya saja, perbedaannya dengan sifat kedua logaritma adalah basis dan numerusnya memiliki variabel. Namun, basis kiri dan kanan memiliki nilai yang sama. Sehingga, persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengikuti rumus $�(�)=ℎ(�)$ . 

Dengan syarat, basis $�(�)>0$ , kemudian numerus $�(�),ℎ(�)>0$ , dengan $�(�)\mathrm{\ne }1$.

5. Sifat Kelima

${}^{�(�)}\log ℎ(�){=}^{�(�)}\log ℎ(�)$

Selanjutnya, syarat dari sifat kelima logaritma adalah jika $�(�)>0,�(�)\mathrm{\ne }1$ . Kemudian $�(�)>0$, $�(�)\mathrm{\ne }1$, dan $ℎ(�)>0$ . Penyelesaian soal yang memenuhi syarat dari sifat kelima logaritma adalah dengan rumus $�(�)=�(�)$.

6. Sifat Keenam

$�{(}^{�}\log �(�){)}^2=�{(}^{�}\log �(�))+�=0$

Dibandingkan sifat lainnya, sifat keenam logaritma adalah yang paling berbeda. Jika diperhatikan, sifat keenam ini memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kuadrat. Dengan syarat $�>0,�\mathrm{\ne }1$ , dan $�(�)>0$.

Agar lebih mudah menyelesaikan soal logaritma yang memiliki sifat atau bentuk keenam ini, kamu bisa mengubah logaritmanya menjadi suatu bentuk. Misalnya dengan mengubah $�(�)$ menjadi $�$. 

Sehingga bentuk sederhana rumus logaritma adalah seperti ini: $�(�{)}^2+�(�)+�=0$. Lebih sederhana bukan?

Pertidaksamaan Logaritma

Selain persamaan, pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Sifat atau bentuk logaritma dalam pertidaksamaan terbagi menjadi 2 kondisi. Yaitu ketika a>1 dan 0<a<1. 

Agar lebih jelas, sifat dalam pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut:

Contoh Soal Logaritma

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini:

$(2�-1){=}^{{�}^2+2�-5}\log (2�-1)$

Pembahasan:

Dari bentuk soalnya, kita dapat mengetahui kalau sifat yang sesuai untuk persamaan logaritma adalah: $ℎ(�){=}^{�(�)}\log ℎ(�)$ . 

Sehingga, diketahui bahwa:

$ℎ(�)=2�-1$

$�(�)=2{�}^2-3�+1$

$�(�)={�}^2+2�-5$

Dengan solusi $�(�)=�(�)$ dan $ℎ(�)=1$

Dengan syarat $ℎ(�)>0,�(�)>0,�(�)\mathrm{\ne }1,�(�)>0,$ dan $�(�)\mathrm{\ne }1$

Kemudian, tentukan nilai x berdasarkan solusi yang didapat. Sehingga solusi pertama logaritma adalah:

$�(�)=�(�)$

$2{�}^2-3�+1={�}^2+2�-5$

${�}^2-5�+6=0$

$(�-2)(�-3)=0$

Dan didapatkan kalau $�=2$ dan $�=3$

Lalu, cek masing-masing nilai x

Untuk $�=2$ , maka:

$ℎ(�)=2�-1\to ℎ(2)=2.2-1=3$ (memenuhi)

$�(�)=2{�}^2-3�+1\to �(2)=2(2{)}^2-3.2+1=3$ (memenuhi)

$�(�)={�}^2+2�-5\to �(2)=2^2+2.2-5=3$ (memenuhi)

Dan untuk $�=3$, maka:

$ℎ(�)=2�-1\to ℎ(3)=2.3-1=5$ (memenuhi)

$�(�)=2{�}^2-3�+1\to �(3)=2(3{)}^2-3.3+1=10$ (memenuhi)

$�(�)={�}^2+2�-5\to �(3)=3^2+2.3-5=10$ (memenuhi)

Artinya, nilai $�=2$ dan $�=3$ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaan logaritma tersebut.

Selanjutnya, tentukan nilai $�$ dengan menggunakan solusi kedua, yaitu $ℎ(�)=1$

Sehingga,

$ℎ(�)=1$

$2�-1=1$ 

$2�=2$ 

$�=1$ 

Lalu cek untuk nilai $�=1$ , maka:

$�(�)=2{�}^2-3�+1\to �(1)=2(1{)}^2-3.1+1=1$ (tidak memenuhi)

$�(�)={�}^2+2�-5\to �(1)=1^2+2.1-5=-2$ (tidak memenuhi)

Artinya, nilai $�=1$ tidak memenuhi syarat atau tidak dapat digunakan sebagai solusi dari persamaan. 

Jadi, penyelesaian dari persamaan logaritma adalah $�=2$ dan $�=3$