Barisan Dan Deret 

1. BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmatika $\to$ pola barisan bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

Selisih dari dua suku yang berurutan inilah yang disebut dengan beda ($b$), dimana $b\ne 0$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola barisan suku - suku aritmatika berikut ya...

$U_1,U_2,U_3,U_4,\cdots ,U_n$

dengan nilai beda yaitu : 

$b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_n-U_{n-1}$

Rumus suku ke-$n$ $\to$ $\left(U_n\right)$ dari Barisan Aritmatika adalah :

$U_n=a+(n-1)b$

dengan $a$ dan $b$ berturut - turut ialah suku pertama dan beda  pada barisan aritmatika tersebut.

Jika kita jumlahkan masing - masing suku pada barisan  aritmatika maka kita akan mendapatkan deret aritmatika. 

2. DERET ARITMATIKA

Deret Aritmatika $\to$ jumlah dari pola barisan bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots +U_n=S_n$

dengan $S_n$  ialah jumlah $n$ suku  pertama deret aritmatika,

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika ialah :

$S_n=a+U_n$ atau $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1\left)b\right]$

3. SUKU TENGAH BARISAN ARITMATIKA

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku $\left(n\right)$ ganjil, suku pertama $a$, dan suku  terakhir $U_n$ maka nilai dari suku tengah $\left(U_t\right)$ dari barisan tersebut adalah :

$U_t=\frac{a+U_n}{2}$

dimana $t=\frac{n+1}{2}$.

4. SISIPAN BARISAN ARITMATIKA

Jika diantara dua suku barisan aritmatika disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru maka akan terbentuk barisan aritmatika yang baru.

Barisan Aritmatika yang baru ini mempunyai beda yang baru pula yang kita sebut dengan $b^{\ast }$.

$b^{\ast }=\frac{b}{k+1}$

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. BARISAN GEOMETRI

Barisan Geometri $\to$ pola barisan bilangan yang mempunyai ciri perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

Perbandingan dari dua suku yang berurutan inilah yang disebut dengan rasio ($r$), dimana nilai $r\ne 1$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola barisan suku - suku geometri berikut ya...

$U_1,U_2,U_3,U_4,\cdots ,U_n$

dengan nilai beda yaitu : 

$r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

Rumus suku ke-$n$ $\to$ $\left(U_n\right)$ dari Barisan Geometri adalah :

$U_n=a{r}^{n-1}$

2. DERET GEOMETRI

Deret Geometri $\to$ jumlah dari pola barisan bilangan yang mempunyai ciri perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots +U_n=S_n$

dengan $S_n$  ialah jumlah $n$ suku pertama deret geometri,

Rumus jumlah $n$ suku  pertama deret geometri bergantung dari besar nilai rasio$\left(r\right)$ nya.

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\to r>1$ 

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\to r<1$

3. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Jika deret geometri terus mengembang tak berujung alias tidak mempunyai suku terakhir $U_n$ maka terbentuklah deret geometri tak hingga.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots =S_{\infty }$

Tidak semua deret geometri mempunyai jumlah akhir.

Kondisi inilah yang dikenal dengan istilah syarat kekonvergenan deret geometri tak hingga.

Deret Geometri Tak Hingga akan mempunyai nilai jumlah (konvergen) ketika rasionya terletak pada batas $-1$ dan $1$.

$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}\to -1<r<1$

sedangkan jika nilai rasio $\left(r\right)$ nya terletak diluar batas tersebut maka deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tak hingga (divergen).

$S_{\infty }=\infty \to r<-1$ atau $r>1$

Dari rumus deret tak hingga tersebut di atas kita bisa kembangkan menjadi rumus - rumus berikut :

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku - suku ganjil : 

$U_1+U_3+U_5+U_7+\cdots =S_{ganjil}$ 

$S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^2}$ 

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku - suku genap : 

$U_2+U_4+U_6+U_8+\cdots =S_{genap}$ 

$S_{genap}=\frac{ar}{1-r^2}$ 

Dengan rasio deret geometri tak hingga : 

$r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}$

4. SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI

Jika barisan geometri mempunyai banyak suku $\left(n\right)$ ganjil, suku pertama $a$, dan suku  terakhir $U_n$ maka nilai dari suku tengah $\left(U_t\right)$ dari barisan geometri tersebut adalah :

$U_t=\sqrt{a\cdot U_n}$

dimana $t=\frac{n+1}{2}$.

5. SISIPAN BARISAN GEOMETRI

Serupa dengan barisan aritmatika yang dapat mempunyai sisipan diantara dua suku berurutan.

Demikian pula berlaku pada barisan geometri.

Jika diantara dua suku barisan geometri disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru maka akan terbentuk barisan geometri yang baru.

Barisan Geometri yang baru ini mempunyai rasio yang baru pula yang kita sebut dengan $r^{\ast }$.

$r^{\ast }=r^{\frac{1}{k+1}}$

CONTOH SOAL

1. Diketahui $U_n=4n+1$ maka nilai beda dari barisan aritmatika tersebut adalah...

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa salah satu cara menghitung $b$ ialah dengan rumus $b=U_2-U-1$.

$\begin{array}{cc}b& =U_2-U_1\\ & =4\left(2\right)+1-\left[4\right(1)+1]\\ & =9-5\\ & =4\end{array}$ 

TRIK SUPERKILAT! 

Dalam rumus suku ke-$n$ $\left(U_n\right)$ nilai beda selalu terletak di depan $n$. 

Sehingga $U_n=4n+1\to b=4$

2.Diketahui suatu barisan artimatika $U_6=20$ dan $U_2=8$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah.

Pembahasan : 

Dengan menggunakan penjabaran melalui rumus $U_n$ kita akan bisa dapatkan, 

$\begin{array}{cc}a+b=8& \\ a+5b=20& (-)\\ -4b=-12& \\ b=3& a=5\end{array}$ 

Sehingga langkah beriktunya tinggal kita substitusikan ke dalam rumus $S_n$, kita akan peroleh, 

$\begin{array}{cc}{S}_6& =\frac{6}{2}\left(2a+(6-1)b\right)\\ & =3\left(2\left(5\right)+\left(5\right)\left(3\right)\right)\\ & =3\left(10+15\right)\\ & =3\left(25\right)\\ & =75\end{array}$ 

Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (B) $75$.

3. Suku ke-$50$ dari barisan $7,5,3,1,\cdots$ adalah...

Pembahasan :

Dari soal diketahui bahwa nilai $a=7$ dan $b=5-7=-2$, 

sehingga 

$\begin{array}{cc}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_{50}& =7+(50-1)(-2)\\ & =7-98\\ & =-92\end{array}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (E) $-92$

4. Dalam suatu gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari $12$ kursi, baris kedua berisi $14$ kursi, baris ketiga barisi $16$ kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-$20$ adalah... 

Pembahasan :

Diketahui dalam soal bahwa nilai $a=12$ dan $b=2$. 

Sehingga banyak kursi pada baris ke-$20$ : 

$\begin{array}{cc}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_{20}& =12+(20-1)\left(2\right)\\ & =12+38\\ & =50\end{array}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $50$

5. Jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika adalah $S_n=n^2+\left(\frac{5}{2}n\right)$. Beda dari deret aritmatika tersebut adalah... 

Pembahasan : 

Langkah pertama kita cari nilai dari $S_1$ dan $S_2$, yaitu : 

$\begin{array}{cc}{S}_1& =1^2+\left(\frac{5}{2}\right)1\\ & =1+\left(\frac{5}{2}\right)\\ & =\frac{7}{2}\end{array}$ 

dan, 

$\begin{array}{cc}{S}_2& =2^2+\left(\frac{5}{2}\right)2\\ & =4+5\\ & =9\end{array}$ 

Karena $S_2$ merupakan jumlah dari $U_1$ dan $U_2$, maka : 

$\begin{array}{cc}{S}_2& =U_1+U_2\\ 9& =a+(a+b)\\ 9& =\frac{7}{2}+(\frac{7}{2}+b)\\ 9-7& =b\\ 2& =b\end{array}$ 

Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (B)$2$

TRIK SUPERKILAT !

JIka $S_n=p{n}^2+qn$ maka $r=2p$ 

Sehingga $S_n=n^2+\left(\frac{5}{2}n\right)$ maka $r=2\cdot 1=2$