Kaidah Pencacahan

 

Pengertian Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan berfungsi untuk membantu kita menghitung jumlah kemungkinan atau pola-pola tertentu dengan cara yang lebih sistematis. Kaidah pencacahan bisa diterapkan di banyak kasus, mulai dari masalah kombinatorik, probabilitas, hingga statistik. 

Intinya kaidah pencacahan adalah cabang matematika yang membahas cara menghitung banyaknya susunan atau kombinasi suatu objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya.

Rumus Kaidah Pencacahan

Nah, dalam materi pencacahan ini, terdapat empat kaidah perhitungan yang perlu kamu tahu. Keempat kaidah itu merupakan penjumlahan dan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. Yuk, simak penjelasannya berikut ini.

Penjumlahan dan Perkalian

1. Penjumlahan

Rumus ini biasanya digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan yang ada dari beberapa kasus yang bisa dipilih atau dikombinasikan secara eksklusif.

Contoh :

Jika kita punya beberapa pilihan buku yang bisa dibaca dan beberapa pilihan film yang bisa ditonton, maka banyak kemungkinan yang ada adalah jumlah dari semua kemungkinan buku yang bisa dibaca dan film yang bisa ditonton. Misalnya kita punya 3 pilihan buku dan 4 pilihan film, maka banyak kemungkinannya adalah 3+4=7. 

2. Perkalian

Rumus ini digunakan jika kita punya beberapa kasus yang bisa dipilih, dikombinasikan secara bersamaan, atau saling tergantung satu sama lain. Rumus kaidah pencacahan untuk perkalian ini biasanya dipakai buat menghitung banyak kemungkinan susunan atau kombinasi dari beberapa objek yang saling bergantung. 

Contoh :

Jika kita punya 3 pilihan baju dan 2 pilihan celana, maka banyak kemungkinan penampilan kita adalah 3 x 2 = 6. Kita kalikan aja banyak pilihan baju sama pilihan celana, dan hasilnya adalah banyak kemungkinan yang bisa kita pilih.

Faktorial

Nah, rumus kaidah pencacahan juga bisa menggunakan notasi faktorial. Faktorial adalah operasi matematika yang digunakan untuk mengalikan bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil daripadanya sendiri, hingga mencapai angka 1. 

Faktorial dituliskan dengan tanda seru (!) di belakang bilangan yang akan dihitung faktorialnya. Jadi, rumus ini digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan susunan atau kombinasi dari beberapa objek yang tidak boleh diulang atau tidak boleh dipilih kembali. 

$�!=�\times (�-1)\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times 3\times 2\times 1$

Secara umum biasanya dituliskan sebagai berikut:

$�!=�\times (�-1\mathrm{\mid }\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Contoh Soal

Hitunglah 7!

Jawab :

$7!=7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=5040$

Permutasi

Permutasi merupakan salah satu kaidah pencacahan dalam matematika yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan terurut dari objek-objek yang berbeda. Contohnya, jika ada n objek, permutasi akan menghitung berapa banyak cara untuk mengatur objek-objek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Dalam permutasi, setiap objek harus ditempatkan pada posisi yang berbeda-beda dalam susunan yang terurut.

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{(�-�)!}$

Keterangan:

n = Jumlah objek yang tersedia 

r = Jumlah objek yang akan diatur. 

Dalam permutasi, urutan adalah hal yang penting, sehingga dua susunan yang berbeda dari objek yang sama dianggap sebagai susunan yang berbeda juga.

Contoh Soal

Pengaturan 4 buku pada rak buku. Jika ada 4 buku dan kita ingin menghitung berapa banyak cara untuk mengatur keempat buku tersebut, maka kita menggunakan rumus permutasi

Diketahui:

n=4

r=4

Jawab:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{(�-�)!}$

${}_4{�}_4=\frac{4!}{(4-4}!$

${}_4{�}_4=\frac{4!}{0!}$

${}_4{�}_4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}$

${}_4{�}_4=24$

Kombinasi

Kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih objek-objek tertentu dari sekelompok objek tanpa memperhatikan urutan atau posisi objek tersebut. 

Jadi, dengan kombinasi, kita dapat menghitung berapa banyak cara memilih objek-objek tersebut tanpa harus memperdulikan posisi atau urutannya. Rumus kombinasi sendiri berbeda dengan permutasi dan faktorial. Rumus kombinasi menggunakan faktorial dan permutasi untuk menghitung jumlah cara memilih objek-objek tersebut. Berikut rumus kombinasi peluang yang wajib Sobat Pijar ketahui:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{�!(�-�)!}$

Di mana n! menunjukkan faktorial dari n, yang dapat dihitung dengan mengalikan semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n, dan r! dan (n-r)! masing-masing menunjukkan faktorial dari r dan n-r.

Contoh Soal

Jika terdapat 8 orang yang ingin dipilih dari 12 orang untuk membentuk sebuah tim, berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih tim tersebut?

Diketahui:

n = 12 (jumlah total orang yang tersedia)

r = 8 (jumlah orang yang ingin dipilih untuk tim)

Jawab:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{�!(�-�)!}$

${}_{12}{�}_8=\frac{12!}{8!(12-8)!}$

${}_{12}{�}_8=\frac{12!}{8!4!}$

${}_{12}{�}_8=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}$

${}_{12}{�}_8=\frac{11800}{24}$

${}_{12}{�}_8=495$

Jadi, ada 495 cara yang mungkin untuk memilih tim dari 12 orang yang tersedia.

Aturan Kaidah Pencacahan

Selain ada rumus, kaidah pencacahan juga mempunyai aturan yang harus diperhatikan lho, Sobat Pijar! Apa saja aturan kaidah pencacahan? Yuk, simak di bawah ini!

Pencacahan Boleh Berulang

Aturan pencacahan berulang membolehkan kita untuk memilih objek yang sama lebih dari satu kali dan menempatkannya pada posisi yang berbeda dalam susunan yang kita buat. Nah, makanya objek yang sudah dipilih bisa dipilih lagi nih untuk ditempatkan pada posisi yang berbeda dalam susunan tersebut. 

Contoh Soal 1

Berapa banyak kombinasi yang bisa kamu bikin dari 3 warna (merah, kuning, dan hijau) jika ingin membuat lampion menggunakan 6 kertas origami dan tiap kertas bisa diwarnai sama atau beda?

Jawab:

Kita bisa menggunakan aturan pencacahan boleh berulang karena warna bisa dipakai berulang kali. Jadi setiap kertas punya 3 pilihan warna. Maka total kombinasinya adalah:

$3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3=729$

Jadi ada 729 kombinasi yang bisa kita buat untuk bikin lampion pake 6 kertas origami dan 3 warna yang ada.

Contoh Soal 2

Berapa banyak kata berbeda yang bisa kita buat dari huruf-huruf "M", "A", "R", "I", "A" kalo hurufnya bisa diulang dan kata yang terbentuk ga perlu punya arti?

Jawab:

Karena huruf-huruf bisa diulang dan nggak perlu punya arti, kita bisa pake aturan pencacahan boleh berulang. Jadi jumlah kata yang bisa dibikin adalah $5^3=125$.

Jadi, ada 125 kata yang berbeda yang bisa dibikin dari huruf-huruf "M", "A", "R", "I", "A".

Pencacahan Tidak Boleh Berulang

Nah, Sobat Pijar, ada juga aturan pencacahan lainnya, yaitu pencacahan tidak boleh berulang. Aturan ini memperbolehkan kita untuk memilih objek-objek yang berbeda untuk ditempatkan dalam suatu susunan, sehingga setiap objek hanya bisa dipilih satu kali saja dan tidak boleh dipilih kembali.

Misalnya, dalam memilih anggota tim, setiap orang hanya bisa dipilih satu kali dan tidak bisa dipilih kembali untuk menjadi anggota tim yang sama. Aturan ini juga sering digunakan dalam perhitungan peluang di mana hasil yang sama tidak dapat muncul kembali dalam percobaan yang sama.

Contoh Soal

Seorang siswa ingin memilih 4 buku dari rak buku di perpustakaan. Jika terdapat 10 buku yang berbeda di rak tersebut, berapa banyak cara siswa tersebut dapat memilih 4 buku tanpa memilih buku yang sama?

Jawab:

Karena setiap buku hanya dapat dipilih sekali, maka kita menggunakan aturan pencacahan tidak boleh berulang. Kita dapat menghitung jumlah kombinasi dengan rumus:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{�!(�-�)!}$

${}_{10}{�}_4=\frac{10!}{4!(10-4)!}$

${}_{10}{�}_4=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1(6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)}$

${}_{10}{�}_4=210$

Jadi, ada 210 cara siswa tersebut dapat memilih 4 buku tanpa memilih buku yang sama.

Contoh Soal Kaidah Pencacahan

1. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih 2 buah buku dari 5 buku yang tersedia?

Jawab : Kita dapat menggunakan rumus kombinasi, di mana kita tidak diperbolehkan untuk memilih buku yang sama lebih dari satu kali. Sehingga, jumlah total cara yang mungkin adalah:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{�!(�-�)!}$

${}_{�}{�}_{�}=\frac{5!}{2!(5-2)!}$

${}_{�}{�}_{�}=\frac{5!}{2!3!}$

${}_{�}{�}_{�}=10$

Jadi, ada 10 cara yang mungkin untuk memilih 2 buah buku dari 5 buku yang tersedia.

2. Ada 4 jenis bunga yang tersedia untuk dijadikan rangkaian bunga. Berapa banyak rangkaian bunga yang mungkin dibuat jika setiap rangkaian harus terdiri dari tepat 3 jenis bunga?

Jawab : Kita dapat menggunakan rumus permutasi, di mana kita tidak diperbolehkan untuk menggunakan jenis bunga yang sama lebih dari satu kali dalam satu rangkaian. Sehingga, jumlah total rangkaian bunga yang mungkin adalah:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{(�-�)!}$

${}_4{�}_3=\frac{4!}{(4-3)!}$

${}_4{�}_3=\frac{4!}{1!}$

${}_4{�}_3=24$

Jadi, ada 24 rangkaian bunga yang mungkin dibuat jika setiap rangkaian harus terdiri dari tepat 3 jenis bunga.

3. Berapa banyak bilangan ganjil tiga digit yang mungkin dibuat dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika angka tidak boleh dipakai lebih dari satu kali dalam satu bilangan?

Jawab: Kita dapat menggunakan rumus permutasi, di mana kita tidak diperbolehkan untuk menggunakan angka yang sama lebih dari satu kali dalam satu bilangan. Karena bilangan harus ganjil, maka kita harus menggunakan angka 1 atau 3 pada digit terakhir. Sehingga, jumlah total bilangan ganjil tiga digit yang mungkin adalah:

${}_{�}{�}_{�}=\frac{�!}{(�-�)!}$

${}_4{�}_2\times 2=\frac{4!}{(4-2)!}\times 2$

${}_4{�}_2=12\times 2$

${}_4{�}_2=24$

Jadi, ada 24 bilangan ganjil tiga digit yang mungkin dibuat dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika angka tidak boleh dipakai lebih dari satu kali dalam satu bilangan.